ベルヌーイ分布を勉強しようぜ（＾～＾）？

「　ベルヌーイ分布を勉強しようぜ？」

「　何だぜ　それ？」

「　多腕バンディット問題の式の中に出てくるのよ」

📖　二項分布とベルヌーイ分布　登校中にヤンキーに遭遇してしまう確率…？

「　👆　記事を読んでも　さっぱり　分からんな」

📖　二項分布

「　👆　数式あっても　読めないしな」

「　記事に共通点ないの？」

「　確率、平均、分散、確率変数　は前提知識として必要なようだぜ」

「　つら」

「　👆　コインの　オモテが出る確率と、ウラが出る確率の話しをしているのは　確かだぜ」

「　フーン」

「　👆　コインの　ウラ　を　0、　オモテ　を　1　としようぜ？」

確率変数

「　なんか　高校数学沼に足を突っ込んでしまったか」

📖　11-1. 確率変数と確率分布

「　👆　確率ね」

「　👆　ウラ　と　オモテ　の２つしかない　ということに　X　という記号を当ててると思ってくれだぜ。
この　X　は　確率変数　と呼ばれることがあるが、プログラムやったことあるんなら　ハッシュセットの名前ぐらいに思っておけだぜ。
ハッシュセットが分かんなかったら、要素の順番が決まってない配列と思えだぜ」

「　むずかし！」

確率分布

「　👆　そして　オモテが出る確率と、ウラが出る確率は、５分５分とも限らないよね、という話しをしているのは　確かだぜ」

「　インチキ・コインも取り扱う分野なのね」

「　ベルヌーイ分布は難しいから、簡単な例から　見ていこうぜ？」

「　👆　はー、疲れた」

「　x は整数で　0 <= n < 2　なんだな」

「　つまり　X　の中から１個選んだやつが　x　だぜ」

「　趣旨としては、２本の青い棒をつなげれば　長さが　1.0　になるぜ」

「　n=1 のとき p なら、 n=0 のとき 1-p　ということなんじゃないの？
それ以上の深い意味があんの？」

「　無いぜ」

「　何が難しいの？」

「　👆　じゃあ　オモテが　ちょっとばかし出やすい　インチキ・コイン　を例に考えようぜ？」

func Pr(x):
  if x==1:
    return 0.6
  else if x==0:
    return 0.4
  else:
    panic( )

「　👆　プログラムを疑似コードで書くと　こんな感じ。
Pr(1) なら 答えは 0.6 で、
Pr(0) なら 答えは 0.4 を返すぜ」

「　x を入れたら p か、 1-p　のどっちかが返ってくるんだろ。　関数だな」

p = 0.6

func Pr(x):
  if x==1:
    return p
  else if x==0:
    return 1-p
  else:
    panic( )

「　👆　もうちょっと書き直したら　こんな感じ」

「　分かった、分かった」

ベルヌーイの確率質量関数

📖　確率質量関数(probability mass function)

「　👆　かなり　難しいけど」

p(x)

「　👆　小文字の　p　が名前の関数な」

「　さっき　大文字の　Pr　が名前の関数やったのに。何が違うんだぜ？」

「　👆　おんなじだな」

📖　確率質量関数

「　👆　プログラムのところを　数式でも　おんなじことが　できるようだぜ」

p^x × (1-p)^(1-x)

「　👆　左の数と、右の数を　掛ける感じだぜ」

「　つら！」

「　例えば　x=1　のときを見てみようぜ？」

  p^x × (1-p)^(1-x)
= p^1 × (1-p)^(1-1)
= p^1 × (1-p)^ 0
= p^1 ×  1

「　👆　右の方の数が　０乗になって、　1　になったな。　左の方の数が残ったぜ」

「　0乗が 1 かは自明じゃないけど」

「　次は　x=0　のときを見てみようぜ？」

  p^x × (1-p)^(1-x)
= p^0 × (1-p)^(1-0)
= 1   × (1-p)^1

「　👆　左の方の数が　０乗になって、　1　になったな。　右の方の数が残ったぜ」

「　if文でいいと思う」

ベルヌーイ分布の期待値

「　うーん。　この P 関数　逆なんじゃないの？
オモテが　出るか、　ウラが　出るか　知りたいのに、 P(n)　の n って、　オモテか　ウラを入れんの？」

「　それで　分布が分かるんで」

📖　経済情報処理 講義ノート　第 7 回　確率分布

「　👆　むずかし！」

「　👆　このコインを１０回投げたとき、オモテがでるのは何回ぐらいだと思うんだぜ？」

「　６回ぐらいかしらねぇ」

  0.4 * 0 + 0.6 * 1
=     0   +    0.6
=        0.6

「　👆　数式で書くと　上記のようだぜ」

E(X) = p

「　👆　式が長ったらしいんで、 E(X)　が　期待値　を求める関数だぜ。期待値は　p　なんだけど」

「　数値型変数１個受け取る　Pr(x)　関数に、　X　つっこんでいいの？」

「　E(X) = p　は　X　の要素の　0、 1　の　どっちを突っ込んでもいい、というプログラムの　コメント　みたいなもんだぜ。
関数コール文ではないんで」

「　じゃあ　// E(X) = p　みたいにしてほしいぜ」

ベルヌーイ分布の期待値の導出

「　👆　この数式は　何を書いてるのか　考えてみようぜ？」

「　プログラムに書き直したら　いいんじゃない？」

sum = 0
for (k=0; k<=1; k+=1):
    sum += k * Pr(k)
return sum

sum  = 0 * Pr(0)
sum += 1 * Pr(1)
return sum

return 0 + 1*p

return p

「　👆　分かった」

平均

「　分散の話しをしたいんだが、前提知識として　平均　って何かの説明が要るな」

「　👆　例えば　コンピューター将棋の大会に　８チーム出場していて、 PR文書の平均ページ数を調べようと思ったら」

  (1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 5 + 2 + 4) / 8
=               18                / 8
=                               2.25

「　👆　だいたい　1人　2.5ページ　書いてきてるなあ、と　考えたりするわけだぜ」

「　👆　平均（μ；ミュー）って　この辺か。
こんな　何からも離れている線が　役に立つのかだぜ？」

「　実体とかけ離れていても、数字１個で表したいときって　あるのよ。比較したいから」

「　👆　じゃあ　そこに　100ページのPR文書を提出してくるやつが　1人　居たらどうなるんだぜ？」

  (1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 5 + 2 + 4 + 100) / 8
=                 118                   / 8
=                                     14.75

「　👆　１人　14.75ページぐらい　書いている計算になるな」

「　👆　迷惑よねぇ」

「　平均の中に　おかしなデータが　ぼんっと入ってないか　雰囲気を見てみるのが　分散　という考え方だぜ」

分散

📖　統計学における分散とは？不偏分散との違いも！ 例題でわかりやすく解説

「　👆　分散の説明をしても　難しいだろうから、　計算してみようぜ？」

「　👆　まず、各チームの、平均との誤差を求めておこうぜ」

「　👆　その誤差を２乗して　面積を出すぜ」

  (1.5625 + 1.5625 + 0.0625 + 0.0625 + 1.5625 + 7.5625 + 0.0625 + 3.0625) / 8
=                                  15.5                                   / 8
=                                                                      1.9375

「　👆　面積を全部足して　チーム数で割ろうぜ」

「 1.9375」

「　それが 分散(Variance) だぜ。
その数が小さいほど、　１つだけバカに離れた数が入ってる、みたいなことが少ないわけだぜ」

「 じゃあ　分散が少ないほど　平均が　まともなのかだぜ？」

「　そうね」

「　👆　１チームだけ離れてるときの平均の誤差も見てみようぜ？」

「　平均（μ）が　だいぶ吊り上がってるわねぇ」

  (13.75 + 13.75 + 12.75 + 12.75 + 13.75 + 9.75 + 12.75 + 10.75 + 85.25) / 8
=                                                                      23.15625

「 23.15625」

「　分散してる感じがするよな」

「　するのかなあ」

ベルヌーイ分布の分散

📖　統計における分散とは？意味や求め方、標準偏差との違いを詳しく解説します

「　👆　分散の説明をしても　難しいだろうから、　簡単なところから　やろうぜ」

// 0 の 2 乗
= 0 ^ 2
= 0 * 0
=   0

// 1 の 2 乗
  1 ^ 2
= 1 * 1
=   1

「　👆　0 の 2乗は ０、 1 の 2乗は 1 というのは OK？」

「　OKだぜ」

「　👆　0 と 1 で、2乗して面積を求めているが、結局 面積も ０、 1 なことを知れだぜ」

「　知ったぜ」

「　👆　1辺の長さを p とする正方形の面積は、 p だぜ。
これは　p　は　0　か　1　のどっちかしか無いから　はっきりしてるぜ」

「　分かった、分かった」

ベルヌーイ分布の分散の式変形

「　👆　この数式は　何を書いてるのか　考えてみようぜ？」

「　プログラムに書き直したら　いいんじゃない？」

return E(k^2) - E(k)^2

if k==0:
    return E(0^2) - E(0)^2
elif k==1:
    return E(1^2) - E(1)^2

if k==0:
    return E(0) - E(0)^2
elif k==1:
    return E(1) - E(1)^2

if k==0:
    return (1-p) - (1-p)^2
elif k==1:
    return p - p^2

return (1-p) * p

「　👆　if文が　消えた……」