「　円のことを考えようぜ？」

「　なんでなんだぜ？」

「　寝られないのよ」

「　👆　同じ形を　隣り合わせて　隙間なく詰めていけるような　図形を　空間充填形 （くうかんじゅうてんけい）と呼ぶらしいぜ」

「　👆　正方形の他に　正三角形と……」

「　👆　正六角形があるそうだぜ」

「　なんで　正五角形や　正七角形は　仲間に入れないんだぜ？」

「　👆　敷き詰まるかどうかは、角っこを隣り合わせて　ぴったり３６０°になることが　必要条件だぜ」

「　Wikipediaによると、正p角形が q枚 ひとつの頂点に集まるとき、
正p角形の内角　×　q　が 360°になる必要があって、
正3角形の内角は 60°で、6枚集まって 360°、
正4角形の内角は 90°で、4枚集まって 360°、
正6角形の内角は 120°で、3枚集まって 360° ということだそうだぜ」

「　正5角形の内角は　いくつだぜ？」

「　360°を 5つに分ければ １つは 72°で、 三角形の内角の和が 180 だから　補角は 108° ね」

「　360 ÷ 108 は 3.33333333.... だなあ。
小数点以下が 0 でないということは隙間ができるぜ」

「　ヒマな人が　正q角形で敷き詰められるのは　正3角形、正4角形、正6角形しかないことを証明したらしいぜ」

「　その証明を　やってくれだぜ」

内角 = (180 - (360 / p))
q = 360 / 内角

「　👆　これでいいのかだぜ？ じゃあ内角を代入しようぜ」

q = 360 / (180 - (360 / p))

「　👆　これを整理するか。
p が 1 のとき 360 / (180-(360/p)) は -2 で、
p が 2 のとき 360 / (180-(360/p)) は 0除算で計算できないから、分母が p-2 になるような分数臭いぜ」

「　ロボットみたいな整理の仕方を始めたな」

「　p が 3 のとき 360 / (180-(360/p)) は 6 で、
p が 4 のとき 360 / (180-(360/p)) は 4 で、
p が 5 のとき 360 / (180-(360/p)) は 3.3333...で、
p が 6 のとき 360 / (180-(360/p)) は 3 で」

「　減ってるわね」

q = x / (p-2)

「　👆　早よ　x　を求めてくれだぜ」

3 = x / (6-2)

「　👆　p が 6 のとき q は 3」

 3 = x / (6-2)
 3 = x /   4
12 = x

「　👆　12 は p に入れた 6 の 2 倍」

4 = x / (4-2)
4 = x /   2
8 = x

「　👆　p が 4 のとき q は 4。
8 は p に入れた4の2倍」

q = 2p / (p-2)

「　👆　じゃあ　これでいけるかだぜ？」

「　1～6 までは　いけるな」

「　この式を見て　p は 3角形、4角形、6角形の３つしかないと言い切れるの？」

「　いや、分からん 。
右辺の分子は　0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... みたいな増え方することは分かる」

「　右辺の分母は　-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... みたいな増え方をするぜ」

「　公差が2の等差数列と、公差が1の等差数列ねぇ。
右辺の分母に -2 が利いていなければ q = 2 の直線なのに」

「　さっぱり分からん。　証明するのを　終わり」

「　数学チャンネルによると、360 の約数を１つずつ調べると良いらしいわよ」

「　次に進もうぜ」

正方形

「　👆　１辺の長さが１の正方形の対角線の長さは　ルート２　で、
これを求めるのが　ピタゴラスの定理だが　その説明は　今回は省くぜ」

「　👆　対角線の長さの方を１に固定したとき、辺の長さの方は　ルート２の半分だぜ。
これは　分子と分母の両方を２乗した結果、 0.5 になる数だぜ」

「　ピタゴラスの定理のせいで　平方根　よく出てくるよな」

「　👆　1 を ルート２ で割っても同じだぜ」

「　1 を２乗しても 1、 ルート２を２乗したら　２　ですからね」

「　２乗したら 0.5 になる数とか　無限に有りそうだな」

三角形

「　👆　１辺の長さが２の正３角形は、頂点と中心を通る垂線の長さは　ルート３　だぜ」

「　どうやって　ルート３　だと計ったんだぜ？」

「　👆　ピタゴラスの定理で出せるぜ」

「　👆　１辺の方を１に固定すれば、垂線の長さは　ルート３の半分だぜ」

「　半分になるんだな」

まとめ

「　👆　長さが 1 の棒を振り回しているとき、その角度が４５°持ち上がっているなら、
棒の先っぽの　垂直の高さも　水平の遠さも　２乗したら 0.5 になる数　と覚えておけだぜ」

「　嫌よ」

「　👆　長さが 1 の棒を振り回しているとき、その角度が３０°持ち上がっているなら、
棒の先っぽの　垂直の高さは　0.5、　水平の遠さは　２乗したら 3/4 になる数　と覚えておけだぜ」

「　なんで　そんなもん　覚えるんだぜ？」

「　👆　慣れてくると　円の内側に　正三角形が視えてくるぜ」

「　視えない　視えない～」

「　👆　正６角形も　視えてくる～」

「　視えてもなあ」

「　👆　正６角形の１辺が　１　のとき、　２本の平行線の距離は　ルート３　だぜ。思い出せだぜ」

「　ありがたみが　分かんないのよね」

「　👆　もちろん　この　１間飛び（いっけんとび）の　２点間の距離も　ルート３　だな」

「　👆　こんなところにも　直角三角形が　できたぜ。　正三角形を思い出せだぜ」

「　幾何学マンは　こんなことして　遊んでんのか……」

「　👆　こんなふうに置いても　いいかんじだよな。　棒を　60°　持ち上げたら、
そこから　直角にレーザービームを出せば　ルート３　の長さで地面だぜ」

「　使うこと無さそう」

「　👆　じゃあ　上図の　紫色の　ｘ　の長さは　いくつだぜ？」

「　ピタゴラスの定理を使えば、と思ったが　高さが　円の外に　ちょっと　はみ出ているから　高さが分からんな」

「　コタンジェントを使うと　１秒で答えが分かるんだけど、
タンジェント、何の役に立つ とか言う人がいるこの日本国で　さらにマイナーな『コ』タンジェントを使うのは　２倍　癪ねぇ」

「　こんなところで　役に立たなくてもな」

「　ヒントとしては……」

「　👆　埋めれる角度は　埋めてしまえ　ということだぜ」

「　ああ、分かった！　相似（そうじ）図形よ」

「　👆　小さな三角から見て　赤い線の長さ　１　は、　大きな三角から見て　緑色の線の　長さ　ルート３　に当たるから、
小さな三角形は　ルート３　倍小さいのよ」

「　👆　上図の小さな三角形の　赤い線のところの長さは　１／ルート３　と分かったんだな。
角度が　60°　のときは　ルート３　だったのに、
角度が　30°　になると　１／ルート３　になってしまうの、面白いよな」

「　面白いのかなあ？」

「　👆　ちなみに　45°　持ち上げたときは　緑の線の所は　赤い線の所と同じだぜ。正方形を思い出せだぜ」

「　こんなんだったかな。　なんか　前と違うような」

「　前は　円に内接してたのよ」

「　相似図形のときは　１　のところにある長さを見れば　倍率がすぐ分かるな」

「　よし、寝れそう」

次の日 復習

「　👆　じゃあ　上図の赤い線の長さが　１　のとき、　緑色の線の長さは　いくつ　だぜ？」

「　2 だな」

「　👆　30°のときも　やったな」

「　👆　60°のときも　やったな」

「　全パターン　覚えたと思う」

「　クイズを出してみましょう！」

クイズ

問１

問２

問３

問４

問５

問６

問７

問８

問９

問１０

問１１

問１２

問１３

問１４

問１５

問１６

問１７

問１８

線の名前

「　全部　分かったぜ」

「　問題ごとに　上図の　何色の線の長さは、とか　説明するの　かったるくない？」

「　じゃあ　線に何か　名前を付けるかだぜ？」

「　線なんか　あっちゃこっちゃ　に有って　名前なんか付けようがないだろ」

レイディアス（radius）

「　👆　円の中心から、円まで最短で伸びてる線は　どこのことか分かるだろ。 こいつには　レイディアス　という名前があるぜ」

「　語源は何なんだぜ？」

📖　radius (n.)

「　起源不明だぜ。 1610年頃の英語では　２本の骨の短い方、ぐらいの意味で使われているそうだぜ」

タンジェント（Tangent）、サイン（Sine）、セカント（Secant）

📖　三角法の歴史

「　👆　どこで読んだか忘れてしまったが、
円周の１点を通過する線を　タンジェント、
円周の２点をつなぐ線を　サイン、
円周の２点をつらぬく線を　セカント　と呼ぶそうだぜ」

「　そんな名前で　線のパターンを網羅できるのかだぜ？」

「　👆　タンジェント　は　いけそうだろ」

「　👆　サイン　も　いけるだろ」

「　👆　セカント　も　いけてたな」

「　直角三角形の　各線を　おさえているな」

「　👆　でも　三角形は　反対側にも　あらない？」

「　じゃあ　co- （コ）　を付けようぜ？」

「　コ？」

「　👆　コタンジェント」

「　👆　コサイン」

「　👆　コセカント」

「　わらう」

「　でも　コセカントは　サインの逆数だし、　セカントは　コサインの逆数だし、　覚えなくていいんじゃないの？
覚えるだけ無駄だからって、教科書から消えてるわよ」

「　覚えただけで無駄だから　社会から消えるのは　お前ら　だと言ってやってくれだぜ」

「　逆数って　何のことだぜ？」

逆数（セカントとコサイン）

「　👆　セカントは　コサインの逆数なのかだぜ？」

「　計算してみろだぜ」

「　👆　逆数だな。しかし　いったいなぜ？」

「　セカントはコサインの逆数 という説明はネット上でいくらでも見かけるが、なぜそうなのかについての説明とか出てこないぜ」

「　そんなもんだから　というのが説明なんじゃないの？」

「　👆　相似の図形で　長さが　1　の辺に被ってるところは　大きさの比　になってるのは　前にやったが、
そいつのせいか？」

「　それはそうかもしれないが、なんで　そんな　おもしろ構造が　こんなとこにあるんだぜ？
まぐれで　ここに存在するのか、　なにか　必然的に存在するのか？」

「　知らんわよ」

「　👆　じゃあ　上図の　x　は？」

「　赤い線が短くなってるが、　相似図形だから　同じ比で　出せるんじゃないか？」

「　ルート３分の２　が、　２分のルート３　になるとき、比は　何なの？」

比 = (sqrt(3)/2) / (2/sqrt(3))

「　👆　こんな式でいいの？」

「　👆　えっ、　こう？」

「　こういう　入れ子の分数の　計算の仕方　分かんないのよね。　どうやって　やんの？」

「　割る　というのは　逆数を掛けるんだぜ」

「　👆　えっ、　じゃあ　こう？」

「　👆　４分の３　じゃないのよ」

「　👆　短い方の赤い線の長さは　0.75　？」

「　👆　こんな式で　合ってんの？」

「　👆　別に　こんな数出てきても　何も面白くないな」

「　寝れるな」

逆数（コタンジェントとタンジェント）

「　コタンジェントは　タンジェントの逆数だそうだぜ」

「　👆　なんか　レイディアスを共有している直角三角形の連中は　あやしいな」

「　👆　円なんか見てるから　ワケ分からんだけで　直角三角形の相似　だけを見ていればいいのでは？」

直角三角形を、２つの直角三角形に分割したら、その２つの直角三角形は相似

「　👆　どんな直角三角形も、その中に２つの直角三角形を作るように二分すれば、その２つの直角三角形は
相似なのかだぜ？」

「　考えれば　分かるんじゃないの？」

「　👆　三角形の内角の合計は　180　と決まってるのだし」

「　👆　さらに　三角形は直角を１つまでしか持てないし」

「　👆　正三角形の中に　２つの小さな正三角形を分割するとき、小さな三角形の１つの角は、分割する前の三角形の角をそのまま使ってるから」

「　👆　直角と、分割する前のそのままの角と、内角の合計の３つまで　もう決まってるのだから」

「　👆　もとの三角形の直角のところを２つに割ったが、その角がいくつになるかは、
割る前の三角形の角のうち、使ってないところと同じになることは　もう決まってるぜ」

「　考えたら分かったな。考えてなかったお父ん、バカみたいだな」

「　ｎが３以上の　正ｎ角形　の中で、直角を２つ持てないのは　正３角形だけだから、
他の　正ｎ角形　をいくら見慣れていても、直角を２つ持てないことを　うっかり忘れてしまうのよね」

「　平行する２本の線を持てない　ｎ角形　とも言えるよな」

「　何むずかしい話ししてんの　お前ら」

「　👆　直角三角形　いくら直角に割っても　もとの直角三角形の　相似　ばかりなの？」

「　そう説明しただろ。永遠にそうだぜ」

「　👆　いろんな分割の仕方がありそうだな！」

「　やめてくれだぜ、頭がバカになる」

タンジェントとコサインの練習

「　👆　あれっ？　上図の　黄色の部分は　正方形かだぜ？」

「　計算すりゃ　いいんじゃないの？」

「　👆　正三角形だと仮定しよう。　あれっ？　上図の　赤色の線の長さは　いくつだぜ？」

「　考えりゃ　いいんじゃないの？」

「　👆　どこが相似だっていう前提知識があって、　正三角形の　３つの線の長さの　比　さえ知ってれば　計算できるよな」

「　覚えたか」

「　👆　こんなの全部やらないといけないのか、大変だな……」

「　👆　まあ　やるしかないしな」

「　2 - 3/2 は 0.5 だぜ」

「　👆　じゃあ　斜辺の線分の長さ、　1.5 と 0.5 の比なのかだぜ？」

「　コタンジェントは　タンジェントの逆数だしな」

「　👆　上図の　正三角形のときの比は、いつでも　こうなのかだぜ？」

「　見ようによっては　cos 30°　（コサイン 30°）だしな」

「　👆　そんなけ分かってれば　ここまで　すぐに出せるぜ」

「　👆　１個１個やる」

「　👆　ほんと疲れる」

「　👆　ここまで出た」

「　👆　違った」

「　お父んの絵がヘタクソだから」

ピタゴラスの定理

「　👆　ピタゴラスの定理は、長方形を考えるところから　始まるんだぜ」

「　👆　上図の　桃色の面積と、　黄色の面積は　同じだよな」

「　同じというが何か知らんが　面積は等しいぜ」

「　👆　上図の　桃色の面積と、　黄色と緑を足し合わせた面積は　等しいよな」

「　線を引こうが　引かなこうが　面積は変わってませんからね」

「　👆　ピタゴラスの定理のよくある使い道は、　上図の　黄色の線の長さと、緑色の線の長さが分かれば、
桃色の線の長さになるということだぜ」

「　👆　で、この線は　見ようによっては　どれも　直角三角形の斜辺だぜ」

「　ぜんぜん　直角に描けてないじゃないか」

「　👆　で、　桃色の線の長さは、　黄色と緑の線の長さを足したものとは、違うよな」

「　三角不等式ですからね」

「　👆　でも何か　辺の長さで正方形を作ると　桃色の正方形の面積は、黄色と緑の面積を足したものと等しいんだぜ」

「　👆　この図の証明、山ほど　されてる」

「　線の長さを足そうとすると　三角不等式に阻まれるのに、なんで　面積は足すのがうまくいくんだぜ？」

「　証明山ほどあるから　うまくいくから　うまくいくんじゃないの？」

「　👆　２つの正方形の大きさに　極端に差を付けても　ピタゴラスの定理　に変わりはないぜ」

「　👆　桃色の正方形の大きさを固定して、コロンと横に寝かしてみろだぜ。
このとき、黄色の正方形と、緑色の正方形が　どうなってんのか想像するのも　理解の確認になる」

「　👆　転がる向きは　こうやるのが　よくあるかな」

＜書きかけ＞