のんびりアルジェブラをやろうぜ☆（＾～＾）＜その３＞

＜前回の続き＞

「　１辺を　１．５　にすればいいのね」

「　これぐらいかしら？」

「　方眼紙の線を使おうぜ☆？　２倍して　３で☆」

「　ルート３　を作ろうというのに、　３　を使うのは安直じゃない？」

「　安直でいいだろ☆」

「　三角形を　反時計回りに　９０°回転　して……」

「　あっ、そのまま続けても　ダメだぜ☆」

「　どうすんのよ！」

「　とりあえず　なぜダメかも見ておこう☆　そのまま進めてくれだぜ☆」

「　面積を２倍にして　面積１８の正方形を作って……」

「　６分割して　正方形を作ってくれだぜ☆」

「　６分割したら　正方形にならないんだけど？」

「　正方形を　正方形に分割できるのは　１、４、９、１６　のような　ｘ＾２　だぜ☆
面積１８の正方形を作ったのが　ダメだった☆」

「　立てた式に間違いがあったのでは☆？」

2y / x^2 = sqrt(3)

「　こうか☆？」

2y / x^2 = sqrt(3)
2y       = sqrt(3) x^2
 y       = sqrt(3) x^2 / 2

「　移行しても　ルート３　が消えてくれないんだけど？」

「　作図でルート３を作る方法は　あるが……☆
説明していない定理を使うのは　負けた気がするぜ☆」

「　今すぐ教えろだぜ☆」

「　正方形と　正方形を足して　正方形が作れる面積の１つに
３６＋６４＝１００　というのがある☆
これを例にしよう☆」

「　ここで注目したいのは　外側の正方形☆」

「　内側の箱を　端っこに　寄せるぜ☆」

「　そしてカッティングするのは２つの三角形☆」

「　まず片方の三角形を　時計回りに９０°回転☆」

「　もう片方の三角形も　頭を少しかじってしまうが　半時計回りに９０°回転☆」

「　こうして作られた正方形は、２つの正方形を足した　面積１００だぜ☆
これは Wikipedia にも載っているやり方で、ピタゴラスの定理だぜ☆」

「　ピタゴラスの定理を使うと、どんな２つの正方形でも、１つの正方形にできる☆」

「　ほんとかだぜ☆？」

「　あと　もう１つだけ例示する☆
もっと知りたかったら　めんどくさいんで　動画を見ろだぜ☆」

半径とXYとピタゴラスの定理

「　面積１の正方形と、面積８１の正方形を足して、面積８２　の正方形を作ってみようぜ☆」

「　まず寄せる☆」

「　カッティングする三角形の位置は　間違えるなだぜ☆」

「　１つずつ順番にやっていけば間違えにくい☆」

「　わたしは授業を聞いていなかったので　高校のときは　ピタゴラスの定理を知らなかったぜ☆」

「　わらう☆」

「　ルート１　と　ルート８１　を足して　ルート８２　になるの？」

「　ならない☆」

「　さっきから　足してない？」

「　回転して角度を付けている☆
この角度を　０　に戻さなければ　足し算にはならない☆」

「　ルート１　と　ルート８１　を足したら
見ているのは　水平線上の線の長さだから、ルート１００　になる☆」

「　回転して角度を付けると　ルート計算は　足し算になるの？」

「　第二余弦定理を使うと　ご主人さまの　やりたいことができると思うが　多分　思ってるやつと違う☆
足し算に　お客さんがちょっと付く。　諦めろ☆」

「　正方形と　正方形を足して　正方形を作れるのは分かったが、
面積３の正方形なんか　どんな正方形と　どんな正方形を足すんだぜ☆？」

「　わたしたちは　面積２　の正方形を知っているはずだぜ☆」

「　もう寝なさい！」

どんどこ次の日

「　これぐらいか……☆
雰囲気で　ルート２　の正方形を　下の線に寄せるぜ☆」

「　ここから　ピタゴラスの定理　を使うのかだぜ☆
めんどくさいな……☆」

「　めんどくさいんで　この　ナナメんとこを　√３　ということにしておこうぜ☆
ルート　足す　ルート　は、ナナメんとこの　ルート　だぜ☆」

「　方眼紙の正方形から　だいぶ外れてしまったわねぇ」

「　直角に接した２つの正方形のルートは、足すと　斜辺にある正方形のルートになるから　どんどん　回って行ける☆
でかくなるけどな☆」

「　ピタゴラスの定理　は　正方形の面積　＋　正方形の面積　＝　正方形の面積　かだぜ☆
そういうことか☆」

「　ルート３　を作ろうというのに、　ルート３　を使っちゃ　意味なくない？」

「　ルート３作れないぜ、デカルト座標じゃ……☆」

「　作れる数とは　何なのか……☆」

「　勉強熱心だな☆　勉強とは絶望を希望に変換する位相変換だぜ☆
学校がやってるのは　その位相を変換することを忘れた　採点形式　の名残だがな☆」

「　２のｎ乗には　〇を、
ｎの２乗には　□を付けるぜ☆
１８と　５０が余ったな☆」

「　ｎの２乗の２倍は　◇にしよう☆
全部埋まったな☆」

「　２のｎ乗　要らなくない？」

「　すっきりしたな……、バラバラだが☆」

「　いや、バラバラなんかじゃないぜ☆？」

「　対角線を垂直に持ってきたか☆　しかし　ｎの２乗の２倍は　バラバラだな☆」

「　nの２乗の２倍を１列に並べてから　それ以外の数を　好きなように整列させろだぜ☆
数は　好きなように見ていい☆」

「　もっと　ビシッと　一列に並ばないのかだぜ☆？」

「　スティーブ・ジョブスみたいだな☆」

「　ただ並ばせるだけなら、最初に好きなように並べておいて、残りを適当に並べればいい☆
それに意味があるかは知らないが……☆」

「　こんなに使えない数があったら　９０°回転　役に立たなくない？」

「　９０°回転は　このあと　山ほど役に立つ☆
数学のほとんどは　９０°回転で　できていると言ってもいいぐらいだぜ☆
今　使いにくいと思っているのは　自然数　とかいうやつだぜ☆」

「　しかし　ルート３　や　ルート５３　が　ぱっと出てこないのは不便だよな☆
ルート１　～　ルート１００　ぐらいは　すっと　出したい☆
例えば☆」

「　ルート５３　なら、　ルート４９　と　ルート６４　に挟まれているので、
ルート４９、小数点切り捨てで　１辺は　７ぐらいと分かる☆
もう一工夫で　小数点第２位まで　誤差 0.06 ぐらいで暗記できる☆」

「　それが　この表だぜ☆」

「　暗記したくない☆」

「　暗記したくないわよう！」

「　わたしは　この並べ方を　くの字段　と呼んでいるが、
例えば　１の　くの字段は　要素が３つ☆
２５の　くの字段は　要素が１１個☆　これは暗記しなくても計算で求まる☆」

「　なぜなら　３６－２５　は　１１　だからだぜ☆
その数は　要素の個数そのもの　だよな☆」

「　小数点第１位までを　暗記できる　魔法の数字（マジック・ナンバー）があるぜ☆」

「　そのマジック・ナンバーを　前に暗記させられたが、覚えにくくて忘れてしまったぜ☆」

「　もう思い出せないわよね」

「　９、８、７、６、５　は　５、６、７、８、９　☆！」

「　９、８、７、６、５　は　５、６、７，８，９　☆！」

「　理論は４５°への近似☆！　４５÷４　は　１１☆！　４５÷３は　１５☆！　４５÷２は２２☆！」

「　４５÷４は１１！　４５÷３は１５！　４５÷２は２２！」

「　最後に　３２、４１　があると思えだぜ☆」

「　最後に　３２、４１☆」

「　続けて言うと☆？」

「　５、　６、　７、　８、　９、　１１、　１５、　２２、　３２、　４１☆！」

「　５、　６、　７、　８、　９、　１１、　１５、　２２、　３２、　４１！」

「　よし、ルートの小数第一位まで丸暗記でけた☆」

「　覚えづらーい！」

「　お父ん、　ルート６７☆」

「　ルート６４は　８、　魔法の数字は　６、
６７－６４は３、この３に６を掛けて１８だから　８．１８、有効桁数１で　８．１　だぜ☆」

「　ルート６７は　8.185352771872449969953703724733929458880486815498039963066……、
8.1 で合ってるな☆」

「　小数点第１位までは　すべてカバーした☆」

「　ひとよ、ひとよに　ひとみごろ　と精度を上げて暗記するか、
ルート１～ルート１００　までの小数点第１位まで覚えるかは　好きにしろだぜ☆」

「　電卓を使おうぜ☆」

「　夢の中で電卓を叩けるのならな☆」

「　ルートはもっと　自由自在に、　よく見えるようになっておきたい☆
次は　ルート２　×　ルート２　×　ルート２　×　ルート２　×　……、をやっていきたい☆」

「　もう寝なさい！」

次の日も次の日ぽっぽ

「　お父ん、ルート８６☆」

「　８１は９、　８６－８１は５、９は５、５×５は２５、９．２５で有効桁数は小数部第１位だから　９．２　だぜ☆」

「　ルート８６は　9.273618495495703752516416073990174626263468912076298213373…　だから合ってるな☆」

「　そんな計算ができて　何だってのよ！」

「　小数部第１位の解像度でも　これだけの違いが見える☆
誤差０．０６の　小数部第２位を用いれば　全部カバーしている☆」

「　１～１００のルートと、１０～１０００のルートでは　同じ１００個でも　数が全然違うんだけどな☆」

「　面積が２倍なら　ルートは４倍というのは定義だぜ☆
わたしは　こんな　くそブログ　書いてないで　この表を埋めていたい☆」

「　しかし　お父んが　自己引用用ブログを書かなければ　ネイピア数や　円周率や　オイラーの等式　の自慢話しができないぜ☆」

「　手前味噌ブログだよな☆」

「　ここで九九の前提知識を入れておきたい☆」

  1^2 =    1
  2^2 =    4
  3^2 =    9
  4^2 =   16
  5^2 =   25
  6^2 =   36
  7^2 =   49
  8^2 =   64
  9^2 =   81 // 九九は４つの数を足すと１００になる。これが効いて１桁目は往復している感じになる。説明略。
 10^2 =  100 // 1^2 = 1。１桁目が九九なのはどこでも同じだが、十の位は５０×５０の九九、百の位は１００倍の九九の形をしている。
 11^2 =  121
 12^2 =  144
 13^2 =  169
 14^2 =  196
 15^2 =  225
 16^2 =  256
 17^2 =  289
 18^2 =  324
 19^2 =  361
 20^2 =  400 // 2^2 = 4
 21^2 =  441
 22^2 =  484
 23^2 =  529
 24^2 =  576
 25^2 =  625 // 末尾が25。ここから十の位、一の位は上下対称。５０×５０も、九九の形をしている☆
 26^2 =  676
 27^2 =  729
 28^2 =  784
 29^2 =  841
 30^2 =  900 // 3^2 = 9
 31^2 =  961
 32^2 = 1024
 33^2 = 1089
 34^2 = 1156
 35^2 = 1225
 36^2 = 1296
 37^2 = 1369
 38^2 = 1444
 39^2 = 1521
 40^2 = 1600 // 4^2 = 16
 41^2 = 1681
 42^2 = 1764
 43^2 = 1849
 44^2 = 1936
 45^2 = 2025
 46^2 = 2116
 47^2 = 2209
 48^2 = 2304
 49^2 = 2401
 50^2 = 2500 // 末尾がが00。ここから上下対称。
 51^2 = 2601　// ここから九九２週目。十の位は 5+5=10が効いてすっきり。51は、50が1個が２つで１００になる。25+1=26。
 52^2 = 2704 // 52 は 50が2個が２つで２００になる。25+2=27。
 53^2 = 2809
 54^2 = 2916
 55^2 = 3025
 56^2 = 3136
 57^2 = 3249
 58^2 = 3364
 59^2 = 3481
 60^2 = 3600 // 6^2 = 36
 61^2 = 3721
 62^2 = 3844
 63^2 = 3969
 64^2 = 4096
 65^2 = 4225
 66^2 = 4356
 67^2 = 4489
 68^2 = 4624
 69^2 = 4761
 70^2 = 4900 // 7^2 = 49
 71^2 = 5041
 72^2 = 5184
 73^2 = 5329
 74^2 = 5476
 75^2 = 5625 // 末尾が25。ここから上下対称。
 76^2 = 5776
 77^2 = 5929
 78^2 = 6084
 79^2 = 6241
 80^2 = 6400 // 8^2 = 64
 81^2 = 6561
 82^2 = 6724
 83^2 = 6889
 84^2 = 7056
 85^2 = 7225
 86^2 = 7396
 87^2 = 7569
 88^2 = 7744
 89^2 = 7921
 90^2 = 8100 // 9^2 = 81
 91^2 = 8281
 92^2 = 8464
 93^2 = 8649
 94^2 = 8836
 95^2 = 9025
 96^2 = 9216
 97^2 = 9409
 98^2 = 9604
 99^2 = 9801
100^2 =10000 // 100×100は九九の形をしている☆

「　九九があるのなら　九九×九九もあるだろ、と　やってみた人もいると思う☆」

「　あると思っても　やらないのよ！」

「　九九の仕組み、九九×九九の仕組み、
そしてちょっと見えにくい　五十×五十の仕組みを　明日説明してみたい☆」

「　消化不足が始まってきた……☆」

また次の日

「　これ、点列☆　点は１００個ある☆」

「　水玉模様じゃないの？」

「　きふわらべ、好きな１点を指せだぜ☆」

「　じゃあ　ここ☆」

「　そこは　ゼロ　だな☆　もっと　いい感じのところを指せだぜ☆」

「　きふわらべちゃんに　いい感じ　とかないのよ！」

「　じゃあ　ご主人、いい感じのところを　教えてやってくれだぜ☆」

「　記事を見かけたら　作者のシナリオの上をキャラクターは歩んでいると思いなさい！　結論は決まっているのよ！」

「　命とは不自由なものだなあ☆」

「　このとき、横に６つ、縦に４つ　ならんでいて、四角い箱の中には　２４個の　丸　が入っている☆
このような数え方を　掛け算と呼ぶ☆」

「　わたしたちは　指が１０本あるからか、９の次は１０と数え、１繰り上がる☆
これは１０進数を使っているせいで　桁が増えて見えるだけで、掛け算のせいではない☆」

「　例えば９進数なら、（８８）９　の次は　（１００）９　だが、
１０進数なら　（８１）１０　なわけだぜ☆
指が１０本のあなたに　ピッタリ１００でも、　他の誰かにとっては　１００　ではないことに気を配っておいてほしい☆」

「　ここで　目に見える絵は　いろいろな見方のうちの１つに過ぎないことを示すために
１０個の数を絵で示す☆」

「　１☆」

「　４☆」

「　９☆」

「　１６☆」

「　２５☆」

「　３６☆　あれっ☆？」

「　失敗か☆？」

「　４９☆」

「　６４☆　このまま行くと　やばくね☆？」

「　８１……☆」

「　成功なの？　どうなの？」

「　数を　どう見るかは自由だぜ☆」

「　１００☆　この形をどう見るかも　自由だが、
数は　どこかに効いてくる☆
混ざり具合が　４５、３０、２５　かも知れないし、４５対５と　２５対２５　かも知れない☆
今は　分からないが　こういうのを集めておくんだぜ☆」

「　要らね☆」

「　例えば　これは　ｘ＾２＋ａｘ＋ａ＾２　という素直な見方をした絵だぜ☆
３６の正方形を見たものかもしれないし、１６の正方形を見たものかもしれない☆
どちらにしろ同じだぜ☆」

「　そして　これも３６だぜ☆
丸かっこ　を付ける位置が違うやつの　図形版　だぜ☆」

「　こっちは　３６と　１０、１０、１５、２９　だぜ☆」

「　例えば　どこかで　３６と　１０、１０、１５、２９　を見かけたときに　それが
３６、２４、２４、１６　の　ひねくれたバージョンだと分かるかどうかだぜ☆」

「　そう言えば　お父んは　ダジャレと数秘術に凝っているのだった☆」

「　では　きふわらべ　を試そう☆」

 10^2 =  100 // 1^2 = 1。１桁目が九九なのはどこでも同じだが、十の位は５０×５０の九九、百の位は１００倍の九九の形をしている。
 11^2 =  121
 12^2 =  144
 13^2 =  169
 14^2 =  196
 15^2 =  225
 16^2 =  256
 17^2 =  289
 18^2 =  324
 19^2 =  361
 20^2 =  400 // 2^2 = 4

「　お父んが　適当にメモった　１０の２乗　から　２０の２乗　だぜ☆
この数を見て　なんで　こんな数なのか　思ったことはないかだぜ☆？」

「　こんなメモ　取らなくていいのに……☆」

 10^2 =  100             +   0
 11^2 =  100 +  10 +  10 +   1
 12^2 =  100 +  20 +  20 +   4
 13^2 =  100 +  30 +  30 +   9
 14^2 =  100 +  40 +  40 +  16
 15^2 =  100 +  50 +  50 +  25
 16^2 =  100 +  60 +  60 +  36
 17^2 =  100 +  70 +  70 +  49
 18^2 =  100 +  80 +  80 +  64
 19^2 =  100 +  90 +  90 +  81
 20^2 =  100 + 100 + 100 + 100

「　図形的には　こうなっている☆」

「　２乗の計算は　１７×１７　と考えるより　１００＋７０＋７０＋７×７　と見る方が早い☆」

「　そういえば　お父んは　インド式掛け算にも　凝っているのだった☆」

「　じゃあ！」

 30^2 =  900 // 3^2 = 9
 31^2 =  961
 32^2 = 1024
 33^2 = 1089
 34^2 = 1156
 35^2 = 1225
 36^2 = 1296
 37^2 = 1369
 38^2 = 1444
 39^2 = 1521
 40^2 = 1600 // 4^2 = 16

「　35×35 は　どうやるってのよ！」

「　至極　カンタン☆」

「　１、１０、１０、１００のサイズの４つの団子が置いてあると思えだぜ☆
３で大きくシマシマに分けてある☆　あと　５で細かく分けてある☆」

「　なんだか　分かんない説明ね！」

「　例えば　７５×７５　も　４９００＋３５０＋３５０＋２５　まで分かっていて　足し算のところで間違えたりする☆」

「　もう寝なさい！」

だらだら次の日

「　１０進数というのは　点列に　勝手に区切った枠みたいなものだという話をしたのだった☆」

「　平面で見たときの正方形　１、４、９、１６……は　とたんに意味を無くしてしまう☆」

「　これは　１１進数のｎの２乗☆　面積は１～１００☆」

「　これは　１２進数のｎの２乗☆　面積は１～１４４☆」

「　どれも　ｎの２乗　だぜ☆」

「　波のような、リズムのようなものを感じるわね」

「　枠のようなものを　ずらした　だけだぜ☆」

「　別の見方をしてみよう☆
なぜ波のように見えるのか☆
進数の枠から自由にし、お前らに　もっとよく見える眼を与えてやろう☆」

「　ｎの２乗は　ぴったり４５°ずつ回る☆　回るものは　扱い方にもよるが、波に見える☆
指数と回転を関連付けたのは　有名なところでは　レオンハルト・オイラーという　おっさんで☆、」

「　もう寝なさい！」

どんぶら次の日

「　しかし待ってほしい☆」

「　１桁目は　なぜ　小さい方から数えて　０、１、４、９、６、５、６、９、４、１、０☆
大きい方から数えても　０、１、４、９、６、５、６、９、４、１、０　なのかを教えてほしい☆」

「　２乗であることと、２乗の増え方が　１、３、５、７、…、と奇数であることが関係する☆
１６進数で見ると分かりやすい☆」

「　１６進数は、０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、A、B、C、D、E、Fの
１６個の文字を使う☆」

「　１６は　４×４　を思い起させる☆　分割するとこう☆」

「　１、４、９　の自己主張が激しいな☆」

「　１６進数の１０は　１０進数の１６よね」

「　１６進数の　１００は　１０進数の　２５６　だけどな☆」

「　ただ、聞きたいのは　そういうことでは　ないのだろう☆」

「　なんで往復するか　聞きたいんだろ☆？」

「　そうだぜ☆」

「　もし　面積ではなく、線な空間なら☆」

「　往復なんか　しなかっただろう☆」

「　平面だったから、往復したと言える☆　説明しよう☆」

「　ん☆？」

「　素数の並びが……☆　もう少しいじれば……☆」

「　お父ん☆」

「　おい　こら　お父ん☆」

「　人の話を　聞いているか☆？」

「　なぜ素数を数え始めた☆？」

「　おい☆」

「　今日は　もう終わりにしましょう」

適当に次の日

「　ブログを書くのは止めて　素数を数えようぜ☆？」

「　質問に答えてから　素数を数えろだぜ☆」

「　１進数を見ると分かりやすいが、
０×０　は　０　だぜ☆
０＋０　も　０☆」

「　繰り上がらないじゃないか☆」

「　１進数に　１　は無いの？」

「　無い☆
多分　お前らの考える　１進数は、　進数（Adic） ではなく、点列（Sequence）だぜ☆」

「　一応、１進数に　見えない１　があると仮定すれば　足し算も掛け算もできる☆」

「　ただし、１は無くて　０、４、１６、２５６、……、といった数しか書けない☆」

「　何だぜその　変則４のｎ乗☆」

「　そういう意味で、最初に登場する　すべての自然数を扱える進数は　２進数　だぜ☆」

「　もう　この時点で　頭と　しっぽの　１桁目が　前後同型だぜ☆
説明しろだぜ☆」

「　理由は　いくつか集まって１つなので、１つずつ説明する☆」

「　１０進数なら　９の次は１０☆、
２進数なら　１の次は１０☆
というように、＋１で繰り上がった直後は　１桁目は　０　から　リスタートする☆
これは定義☆」

「　そして　繰り上がった直後の数どうしを掛け合ったら　１桁目は　０×０　で　０☆、
ここで　ｎ×０＝０　という零元のルールが生きてくる☆　これは自明☆」

「　だから　九九の延長線上には　１０、１００、１０００……の線上に　０一列が出てくるぜ☆」

「　例えば　２進数なら☆」

「　いらいら☆！」

「　ここに　０一列ができる☆
これらの間のところにも０一列はできる☆　２進数なら１つ、１０進数なら９つ☆」

「　この区間の中で　前後同型、　というか、　往復の片道が交互に表れる☆」

「　次に、１～１０　を見てみよう☆」

「　全体を１０とすれば、数に　余りを足せば　１０に戻る☆
一桁なので　見えないが、次は　２桁の　１０～１００　で説明する☆」

「　１０の倍数は　おもんないんで　１１～９９　で☆」

「　往復にならんなあ☆」

「　２乗☆」

「　往復になってるなあ☆　腹立つなあ☆」

「　今　きふわらべ　が見ているのは、サイクルと　ラウンドトリップ　な☆」

「　未来から　しゃべられるの、腹立つなあ☆」

「　1乗　が　サイクル　なのは　自明かと思う☆　自然数だからな☆
２乗は　ラウンド・トリップ　する☆」

「　３乗　は　スワップ、
４乗は　エア・ホッケーする☆」

「　きふわらべ　が気にしているのは、２乗　はなぜ　ラウンド・トリップするか、
ということだな☆」

「　全部　気になりだした☆」

「　ブログが重くなってきた☆　次の記事へ移るぜ☆」