「確率論」の記事 - Crieit

期待値（＾～＾）

2021-08-12T23:34:23+09:00

期待値（＾～＾）

「　期待値　を説明しようぜ？」

「　確率をギャンブルと喩（たと）えたとき、賭けた金に対して、これぐらい戻ってくるだろう額のことだぜ。
　　条件もあるが、賭けを長く続けるほど　近づく」

「　サイコロを振った出目のようなものには使えるのよ。
　　何に使えて、何には使えないのかまで　決まりがあるけど、　いちいち　説明してらんない」

前回までの話し

📖　平均

📖　確率質量関数（＾～＾）

サイコロだったら

「　👆　サイコロって　６面に数字が付いてるんで、そのまんま描いたのが　上図だぜ」

「　どの面も　６分の１で　出るぜ」

「　どの面も　おなじ割合で出ます、なんて期待値　嬉しくないんだけど！」

「　そんな数学　無いんだぜ。
　　そこで　サイコロの面には　数字（目；め）が付いてるんで、この数字を足し算するゲームだと考えようぜ？」

「　👆　こんな感じで、重みを付けようぜ。
　　重みは　掛け算で付けるんだぜ」

「　赤い字で　×１　とか　×２　とか書いてるのが　重み　なのね」

「　👆　図に　重みを込みで　描くと　こう」

「　その棒」

「　👆　全部足すと　３と　６分の３　になるぜ！
　　１を超えてしまって　いいのかだぜ！」

「　3.5 な。
　　それが期待値だぜ」

「　なんで　こんなもんが　期待値なんだぜ？
　　目が１～６まであるから、６で割って平均にするとか　要らないのかだぜ？」

「　緑色の　ｐの軸を見てみろだぜ。　先に６で割ってある」

「　重みを掛けたものを　全部足すだけで　期待値になるなんて　変な感じねぇ」

「　緑色の　ｐの軸が　１、２、３、４、５、６　だったら　あとで　６で割る必要があるが、
　　全体を１として　６分の１　だったものを　あとで重みを付けて倍にしたから、
　　６で割らなくていいんだぜ」

偏ったコインだったら

「　改めて　言ったところで　ウキウキするような嬉しいものではないが、
オモテが出る数は　オモテが出なかったときに 0、　オモテが出たときに 1 だぜ」

「　つまんな！」

「　👆　本記事では　ウラが出る割合は 0.4、　オモテが出る割合は 0.6　として説明するぜ。
オモテが出る数　の期待値を求めてくれだぜ」

「　さっき　サイコロでやったやつか。　どんな手順だっけ？」

「　まず初めに、確率質量関数のそれぞれの事象、つまり　ウラと　オモテに、
重みとして、対応する　オモテが出る数　を掛け算するのよ」

「　👆　こんな感じかだぜ？」

「　そうそう。次は　重み込み　の図にしてみなさい」

「　👆　こうなった」

「　次は　各事象、つまり　コインのウラ、オモテ　それぞれの　重み込み　の　p　を　全て足し合わせなさい」

「　👆　変わんないぜ」

「　それが　オモテが出る数　の期待値　0.6　よ」

「　フーム」

確率質量関数（＾～＾）

2021-08-12T20:08:37+09:00

確率質量関数（＾～＾）

「　確率質量関数　を説明しようぜ？」

「　１枚のホットケーキを３人で分けます　みたいな取り分を調べるやつだろ」

「　何個で分けるか　はっきりしてるときは使えるのよ。　コインなら２で分けれるし、６面サイコロなら６で分けれる」

前回の話題

📖　確率変数（＾～＾）

偏りのないコインだったら

「　👆　投げて　オモテが出るのも　ウラが出るのも　同じ割合のコインがあるとしようぜ？」

「　👆　絵にすると　こうだな。　小文字の p の軸が　出るだろう割合だぜ」

func Pr(x):
    return 0.5

「　👆　プログラムを疑似コードで書くと　こんな感じ。
Pr(0) でも、 Pr(1) でも関係なく答えは 0.5 を返すぜ」

「　つまんな！」

「　もっと　面白いことをやりましょうよ」

偏りのあるコインだったら

「　👆　投げて　オモテが出るのと　ウラが出るので　割合が異なるコインがあるとしようぜ？
イカサマかもしれないし、摩耗して劣化しているのかもしれないな」

「　👆　絵にすると　例えば　0.1　刻みで描くと　こうだな。
こういうの　ベルヌーイ分布　と呼ぶぜ」

p = 0.6    # オモテが出る割合を 0 < p < 1 で入れる

func Pr(x):
    if x==1:
        return  p
    elif x==0:
        return  1 - p

「　👆　プログラムを疑似コードで書くと　こんな感じ。
Pr(0) なら 1 - p を、
Pr(1) なら p を返すぜ」

「　そりゃ　そうよね」

「　👆　さっきのプログラムと同じことを　数式で書くと　この通りだぜ」

「　なんで　むずかしくするんだぜ！」

「　👆　k は 1 か 0 しか入らないことを利用して、
指数が 0 のとき 1 となるというルールを採用して 1 を掛けても何もしてないのと同じだから、
指数を　On／Off スイッチのように使っているんだぜ」

「　要らん工夫だぜ。 if文でいい」

ステップ・アップしたい人へ

📖　期待値（＾～＾）

「　👆　サイコロを振るようなゲームで、儲け　を考えたくなったら　期待値　を知れだぜ」

確率変数（＾～＾）

2021-08-12T17:08:51+09:00

確率変数（＾～＾）

「　確率変数の説明をするぜ」

「　コインのウラ・オモテとか、サイコロの１、２、３、４、５、６のことだろ」

「　取り得る全ての選択肢よね」

コインだったら

「　👆　コインを投げたら　どうなるか考えてみようぜ」

「　👆　コインの　ウラ　を　0、　オモテ　を　1　としようぜ？
ヨコに立つとか無しで。
1 と 2 ではダメで、コインのウラが出たときは数えず、コインのオモテが出た場合だけを数えるために、 0 と 1 にするようだぜ」

「　まあ、数学にコインとか無いからな。　ベルヌーイ分布の理論の説明のためにコインで喩（たと）えてるだけで」

「　👆　ウラ　と　オモテ　の２つしかない　ということに　X　という記号を当ててると思ってくれだぜ。
この　X　を　確率変数　と呼ぶぜ。
プログラムやったことあるんなら　ハッシュセットの変数名ぐらいに思っておけだぜ。
ハッシュセットが分かんなかったら、要素の順番が決まってない配列の名前と思えだぜ」

「　むずかし！」

サイコロだったら

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

「　サイコロには出目が付いていて、1, 2, 3, 4, 5, 6 の図柄が描いてあるから、 1 ～ 6 にするのが普通だぜ。
0 ～ 5 にはしない」

難しい話

# コインだったら
Pr(X = 0)
Pr(X = 1)

# サイコロだったら
Pr(X = 1)
Pr(X = 2)
Pr(X = 3)
Pr(X = 4)
Pr(X = 5)
Pr(X = 6)

「　👆　これから先、関数の引数に　X = 1 とか書いてあって、なんだこりゃ！？　と思うことがあると思うぜ」

「　そんなん思うの　お父ん　だけだけどな」

「　単に　確率変数X に含まれている 1 を入れる、ぐらいの意味だぜ。
数学の　=　は代入なんで、 X = 1 なら　コインのオモテが出たとか、サイコロの１が出たとか思えだぜ」

ステップ・アップしたい人へ

📖　確率質量関数（＾～＾）

「　👆　確率変数　が分かったら、次は　確率質量関数　を知れだぜ」