負の数の剰余（＾～＾）

「　👇　AtCode の有志が書いた練習問題解いてたら、次のような細かな話しが載ってたぜ」

📖 D - 1.03.四則演算と優先順位

「　いや、それより早く問題を解けだぜ、お父ん」

「　剰余の結果の正負は、割られる数の正負の符号に揃うだけなんじゃないの？」

 5 %  3 =  2    // ？
-5 %  3 = -2    // ？
 5 % -3 =  2    // ？
-5 % -3 = -2    // ？

「　👆　つまり　こう？」

「　👆　コードテストでは　そうなってるな」

📖 -5%3

 5 %   3  =  2    // ？
-5 %   3  =  1    // ？
 5 % (-3) = -1    // ？
-5 % (-3) = -2    // ？

「　👆　Wolfram Alpha とは一部異なるぜ」

「　現場に合わせればいいのよ」

「　C++ で負の剰余をそう定義したことと、　Wolfram Alpha が負の剰余をそう定義したことで、
どのような都合の良さを取って、どのような都合の悪さを取らなかったのか　気になるぜ」

「　お父んが練習問題サボってるのが　気になるぜ」

「　👆　剰余とは　カマボコ　のようなものだぜ」

「　お父んの空間には　食べ物がよく置いてある」

「　👆　５　を　３人ずつに分けたら　２　余るぜ」

「　１　を　３人で分けなさいよ。作戦負けよ」

「　では、　ー５　を　３人で分けてくれだぜ」

「　👆　これが、　ー５　を　３人ずつに分けたら　ー２　余るという　C++の主張だぜ」

「　存在しないカマボコを取り合ってる３人　わらう」

「　自然な解釈のように見えるが……」

「　👆　これが、　ー５　を　３人ずつに分けたら　１　余るという　Wolfram Alpha の主張だぜ」

「　存在しないカマボコが　なぜ突然　現れたの？」

「　👆　もし　６枚のカマボコがあるとして　ー５　すれば　１　余るだろ、という理屈だぜ」

「　６枚のカマボコがある、ということにするのは　無理攻めな気がするぜ」

「　👆　C++ の主張では、
　８枚のカマボコを３人で分けたら　　２余る。
　５枚のカマボコを３人で分けたら　　２余る。
ー５枚のカマボコを３人で分けたら　ー２余るぜ」

「　そうだぜ」

「　👆　Wolfram Alpha の主張を理解するために、らせん状に重ねたカマボコを考えてみようぜ？」

「　好きにやってくれだぜ」

「　👆　５　を　３　で割ったら　２　余るぜ」

「　👆　－５　を　３　で割ったら　１　余るぜ」

「　フーム　別に　分かりやすくはならなかったぜ」

「　２個余ってるか、１個足りないか　の違いなのよね」

「　じゃ、　５　を　－３人で分けてくれだぜ」

「　👆　C++の主張としては、３で割ろうが、ー３で割ろうが、余りは変わらん　ということだぜ」

「　直観に従うぜ」

「　👆　Wolfram Alpha の方は　３で割るか、－３で割るかで　結果が違ってくるぜ」

「　Wolfram Alpha の方は何をやってるか分からん」

📖 D - 1.03.四則演算と優先順位

より正確に言うと、C++の剰余演算子は(A / B) * B + (A % B)とAが等しくなるように定義されており、結果的にAの正負と一致します。

「　👆　これは何のことを言ってるの？」

「　みんなで食べたカマボコと、余り　を足せば、元のカマボコに戻るだろ、という式だぜ。
具体的な数を入れて　計算してみようぜ？」

「　👆　図で描けば　こうだな。
割り算が小数点切捨てになってるのが　コンピューターの独特な所だぜ」

A = 5
B = 3

  ( A / B ) * B + ( A % B )
= ( 5 / 3 ) * 3 + ( 5 % 3 )
= (   1   ) * 3 + (   2   )
=           4   + (   2   )
=               5

「　👆　合ってるな」

「　他のパターンもやれだぜ」

A = -5
B =  3

  (  A / B ) * B + (  A % B )
= ( -5 / 3 ) * 3 + ( -5 % 3 )
= (   -1   ) * 3 + (   -2   )    # -5 % 3 は定義から -2
=           -3   + (   -2   )
=               -5

「　👆　合ってるな」

「　まだ２パターン残ってるぜ」

A =  5
B = -3

  ( A /  B ) *  B + ( A %  B )
= ( 5 / -3 ) * -3 + ( 5 % -3 )
= (  -1    ) * -3 + (   2    )    # -5 % 3 は定義から 2
=            3    + (   2    )
=                 5

「　👆　合ってるな」

「　らすいち」

A = -5
B = -3

  (  A /  B ) *  B + (  A %  B )
= ( -5 / -3 ) * -3 + ( -5 % -3 )
= (    1    ) * -3 + (   -2    )    # -5 % -3 は定義から -2
=            -3    + (   -2    )
=                 -5

「　👆　合ってるな」

「　Wolfram Alpha の方も　見ておきましょう！」

A = -5
B =  3

  (  A / B ) * B + (  A % B )
= ( -5 / 3 ) * 3 + ( -5 % 3 )
= (   -1   ) * 3 + (    1   )    # -5 % 3 は定義から 1
=           -3   + (    1   )
=               -2

「　👆　合わないぜ」

「　Wolfram Alpha がなぜ？」

「　むむむむ……」

📖 Modulo operation

「　👆　なんてこった。　負の剰余には、２種類ぐらい　良い方法があるらしいぜ。
ユークリッド除法 と、 ドナルド・クヌースの切り下げ除算」

📖 Modulo of Negative Numbers

mod(a, n) = a - n * floor(a / n)

「　👆　ドナルド・クヌースのやり方を真似てみるか」

A = -5
B =  3

   A - B * floor(  A / B )
= -5 - 3 * floor( -5 / 3 )
= -5 - 3 *          -2        # 負の無限大の方へ切り下げる
= -5 +   6
=    1

「　👆　あひゃあ！　１　だ！」

「　１　だぜ！」

「　他のパターンも見てみましょう！」

A =  5
B = -3

  A -  B * floor( A /  B )
= 5 - -3 * floor( 5 / -3 )
= 5 - -3 *         -2         # 負の無限大の方へ切り下げる
= 5 -    6
=  -1

「　👆　なんと　ー１　だぜ！」

「　Wolfram Alpha は ドナルド・クヌースの切り下げ除算を使っているのかだぜ？
らすいち　も見てみようぜ！」

A = -5
B = -3

   A -  B * floor(  A /  B )
= -5 - -3 * floor( -5 / -3 )
= -5 - -3 *           1         # 負の無限大の方へ切り下げる
= -5 -   -3
=   -2

「　👆　ー２　だな」

「　何がいいのか　分かんないわね！」

「　あー、　C＋＋　の方法だと　計算の途中で　自己言及　があるが、
ドナルド・クヌースの方は　自己言及　がないんで、　好きな人は好きな定義だな」

「　しかし　お父んの　らせんのカマボコ　では　何も納得できない……」